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99年鳳新高中數學科教師甄試考古題
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#拋物線 #圓方程式 #切線方程式 若與拋物線y=x^2及直線y=0均相切之圓的圓心為P點，則P點坐標不可能是？（全國聯招98年教甄） #圓參數式 #圓方程式 #圓錐曲線 #三角函數 x,y>=0,x^2+y^2=25，求5x^2+4xy+y^2之最小值。（左營高中99年教甄） #餘式定理 #除法定理 #微積分 已知多項式f(x)除以(x-1)^2的餘式為ax+b，除以(x+1)^2的餘式為bx+a，其中a≠0。若f(x)除以(x-1)^2 (x+1)^2的餘式R(x)為三次多項式且常數項為0，則R(x)的根除了0外還有哪些？（新北高中聯招111年教甄） #根與係數 #點到線的距離公式 已知θ=15°，若a,b為x^2+x tanθ-sinθ=0的兩相異實根，試求原點到(a,a^2 )與(b,b^2 )所連直線的距離。（新北高中聯招111年教甄） #超越函數 #指數函數 #對數函數 已知y=f(x+1)的圖形與y=e^(e^x )+1的圖形對稱於直線y=x，試求函數f(x)。（新北高中聯招111年教甄） #多項式函數 已知f(x)為首項係數是1的三次多項式滿足當n=1,2,3時f(7n+8)+8n+7=0，則f(36)之值為何？（新北高中聯招111年教甄） #數列與級數 #極限值 已知sum(k=1..inf)1/k^2=π^2/6，求sum(k=1..inf)(1/(1^3+2^3+⋯+k^3 ))之值為何？（新北高中聯招111年教甄） #畢氏定理 #圓冪性質 如下圖，已知AC為半圓之直徑，若將弧AB沿弦AB往下折使其跟AC相交於D點且AD=9，DC=7，則AB的長度為何？（新北高中聯招111年教甄） #多項式 #乘法公式 已知實數a,b,c滿足a+b+c=0且a^3+b^3+c^3=1，則ab(a+b)之值為何？（新北高中聯招111年教甄） #三角函數 #三角恆等式 #數學歸納法 θ≠2nπ，試證cosθ+cos2θ+cos3θ+...+cosnθ=(cos((n+1)θ/2)sin(nθ/2))/sin(θ/2)。（左營高中99年教甄） #算幾不等式 試證2^n>=1+n*(2^(n-1))^0.5。（左營高中99年教甄） #組合數 #排列組合 試證C^n_1*C^n_2*C^n_3*...*C^n_n<2^(n(n-1))/n!。（左營高中99年教甄） #數列 #級數 #極限值 a_n=1+1/2^0.5+1/3^0.5+...+1/n^0.5，求lim(n->inf)a_n/n^0.5。（左營高中99年教甄） #機率與統計 #期望值 某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過的門與路徑。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。求這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值。（左營高中99年教甄） #質數 #數論 將1,2,3,...,27這27數字有沒有可能圍成一個圈圈，使得相鄰兩數和皆為質數？若有可能，請寫出一個例子；若沒有請舉反例。（左營高中99年教甄） #高斯符號 #數論 試證[x/2]+[(x+1)/2]=[x],∀x∈R（其中[ ]表高斯符號）。（左營高中99年教甄） #根式 #二項式 試證(3+7^0.5)^n的整數部份恆為奇數。（左營高中99年教甄） #三角函數 #變數變換 #微積分 -π<x<π且x≠0，求f(x)=sinx/2+2/sinx的極大值與極小值。（左營高中99年教甄） #圓參數式 #圓方程式 #圓錐曲線 #三角函數 x,y>=0,x^2+y^2=25，求5x^2+4xy+y^2之最小值。（左營高中99年教甄） #拋物線 #圓方程式 #切線方程式 若與拋物線y=x^2及直線y=0均相切之圓的圓心為P點，則P點坐標不可能是？（全國聯招98年教甄） #極限值 #無窮級數和 現有長度為12的線段，首先取去它的1/2^2，然後再從剩下部分的線段取去它的1/3^2，又再從剩下部分的線段取去它的1/4^2，...，如此順序從所剩線段取去它的1/n^2，則剩下的線段長最後會趨近於多少？（全國聯招98年教甄） #複數的運算 #複數平面 若|a|=8，Z^3=a之解集合為{Z_1,Z_2,Z_3}，則A(Z_1),B(2Z_2),C(3Z_3)為頂點之三角形面積為？（全國聯招98年教甄） #排列組合 若9個人排成一列，其中甲乙兩人之間要站2個人，乙丙之間也要站2個人，請問有幾種不同的排列方式？（全國聯招98年教甄） #平面向量 #對稱點 有兩射線OX，OY夾角60°，P為∠XOY內部一點，OP=10，今欲在OX上取一點A，OY上取一點B，使∆PAB之周長最小，若∆PAB之周長為t，則t的範圍為？（全國聯招98年教甄） #排列組合 #機率與統計 若一袋中有2個白球，3個紅球，4個黑球，每一球被取中的機會均等，則一次取出四球，恰為二色的機率為？（全國聯招98年教甄） #除法定理 #微積分 設x^5除以(x-1)^3得餘式為g(x)，求g(2)之值=？（全國聯招98年教甄） #因數與倍數 一長廊有30盞燈排成一列，依序編號為1，2，3，...，30，開始全部都是關的，今有30人依次通過。第一人通過時，將全部燈打開；第二人通過時，將燈號為2之倍數者關上；第三人通過時，將燈號為3之倍數者改變狀態（開者關上，關者打開）；...；第n人通過時，將燈號為n之倍數者改變狀態。今30人通過後，共有多少盞燈最後是開的？（全國聯招98年教甄） #極限值 #夾擠定理 試求lim(n->inf)((1/(n^2))sum(k=1..n)((k(k+2))^(1/2)))。(中和高中97年教甄) #對數 #柯西不等式 #算幾不等式 已知x>1,y>1，且(logx)^2+(logy)^2=2(logx+logy)，試求x^(logy)的最大值。(中和高中97年教甄) #遞迴關係式 數列<a_n>定義如下:a_1=2、a_2=3、a_(n+2)=a_(n+1)+2a_n（n=1,2,3,...），試求一般項a_n（以n表示）。(中和高中97年教甄) #排列組合 設袋中有大小相同的紅球3個、黑球2個、白球4個，今從袋中一次取一球，取後不放回，直到所有紅球皆取到時就停止，試求：停止前所取球的次數為5次的機率為？(中和高中97年教甄) #圓錐曲線 #橢圓方程 設二元二次方程式Γ:x^2+xy+y^2=6，P(a,b)為Γ上的一點，試求a^2-b^2的最大值。(中和高中97年教甄) #圓錐曲線 #橢圓方程 設Γ為x^2+4y^2+2x+3-k(x^2+2y^2+1)=0，則當Γ是橢圓時，試求k的範圍為？(中和高中97年教甄) 設一直圓錐的內部有一個半徑為3的內切球（切於側面及底面），則當此直圓錐的高為___時，此直圓錐有最小體積為___。(中和高中97年教甄) #排列組合 某一天的8節課裏，包括國文、英文、數學、音樂、生物各一節課，再加上3節自習課，若自習課不完全相鄰且不排在第一節，那麼這一天的課表，將會有幾種可能排法？(中和高中97年教甄) 設∆ABC為正三角形，點P為其內部一點，若PA=5、PB=12、PC=13，則∆ABC之面積為？(中和高中97年教甄) #矩陣運算 #反矩陣 設A^(-1)是矩陣A的反矩陣，B^(-1)是矩陣B的反矩陣，且A^(-1)=[(1,2,-1),(3,4,2),(0,1,-2)]，B^(-1)=[(0,1,1),(1,0,1),(-2,3,2)]，求AB=？(中和高中97年教甄) #高斯符號 #整數論 設[x]為表示小於或等於x的最大整數，令b_n=[n/1]+[n/2]+[n/3]+...+[n/n]，則b_2008-b_2007=？(中和高中97年教甄) #絕對值方程式 解方程式 ((10+x)^2)^(1/3)+((3+x)^2)^(1/3)=((10+x)(-3-x))^(1/3)+7 (中和高中97年教甄) #絕對值不等式 設x∈R且x>=7/3，試解不等式：|x^2-(3x-7)^(1/2)|<|(3x-7)^(1/2)-3|+|x^2-3|得其解為 (中和高中97年教甄) #複數平面 設Z=((3^0.5+i)/2)^7+1，試求Z的主輻角為？(中和高中97年教甄) #正弦定理 等腰∆ABC中，AB=AC，D在BC上、且AD⊥BC；E在AD上、且AE=20、ED=2，若∠BED=3∠BAD，則AB=？(中和高中97年教甄) #因式定理 #因式與倍式 若m、n是整數，且mx^17+nx^16+1是x^2+x-1的倍式，求m之值。(中和高中97年教甄)
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