YiCai 旅遊、攝影

歷史上的今天

• 2022: #餘式定理 #除法定理 #微積分 已知多項式f(x)除以(x-1)^2的餘式為ax+b，除以(x+1)^2的餘式為bx+a，其中a≠0。若f(x)除以(x-1)^2 (x+1)^2的餘式R(x)為三次多項式且常數項為0，則R(x)的根除了0外還有哪些？（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #根與係數 #點到線的距離公式 已知θ=15°，若a,b為x^2+x tan⁡θ-sin⁡θ=0的兩相異實根，試求原點到(a,a^2 )與(b,b^2 )所連直線的距離。（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #超越函數 #指數函數 #對數函數 已知y=f(x+1)的圖形與y=e^(e^x )+1的圖形對稱於直線y=x，試求函數f(x)。（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #多項式函數 已知f(x)為首項係數是1的三次多項式滿足當n=1,2,3時f(7n+8)+8n+7=0，則f(36)之值為何？（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #數列與級數 #極限值 已知sum(k=1..inf)1/k^2=π^2/6，求sum(k=1..inf)(1/(1^3+2^3+⋯+k^3 ))之值為何？（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #畢氏定理 #圓冪性質 如下圖，已知AC為半圓之直徑，若將弧AB沿弦AB往下折使其跟AC相交於D點且AD=9，DC=7，則AB的長度為何？（新北高中聯招111年教甄）
• 2022: #多項式 #乘法公式 已知實數a,b,c滿足a+b+c=0且a^3+b^3+c^3=1，則ab(a+b)之值為何？（新北高中聯招111年教甄）
• 2010: #三角函數 #三角恆等式 #數學歸納法 θ≠2nπ，試證cosθ+cos2θ+cos3θ+...+cosnθ=(cos((n+1)θ/2)sin(nθ/2))/sin(θ/2)。（左營高中99年教甄）
• 2010: #算幾不等式 試證2^n>=1+n*(2^(n-1))^0.5。（左營高中99年教甄）
• 2010: #組合數 #排列組合 試證C^n_1*C^n_2*C^n_3*...*C^n_n<2^(n(n-1))/n!。（左營高中99年教甄）
• 2010: #數列 #級數 #極限值 a_n=1+1/2^0.5+1/3^0.5+...+1/n^0.5，求lim(n->inf)a_n/n^0.5。（左營高中99年教甄）
• 2010: #機率與統計 #期望值 某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過的門與路徑。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。求這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值。（左營高中99年教甄）
• 2010: #質數 #數論 將1,2,3,...,27這27數字有沒有可能圍成一個圈圈，使得相鄰兩數和皆為質數？若有可能，請寫出一個例子；若沒有請舉反例。（左營高中99年教甄）
• 2010: #高斯符號 #數論 試證[x/2]+[(x+1)/2]=[x],∀x∈R（其中[ ]表高斯符號）。（左營高中99年教甄）
• 2010: #根式 #二項式 試證(3+7^0.5)^n的整數部份恆為奇數。（左營高中99年教甄）
• 2010: #三角函數 #變數變換 #微積分 -π<x<π且x≠0，求f(x)=sinx/2+2/sinx的極大值與極小值。（左營高中99年教甄）
• 2010: #圓參數式 #圓方程式 #圓錐曲線 #三角函數 x,y>=0,x^2+y^2=25，求5x^2+4xy+y^2之最小值。（左營高中99年教甄）
• 2009: #拋物線 #圓方程式 #切線方程式 若與拋物線y=x^2及直線y=0均相切之圓的圓心為P點，則P點坐標不可能是？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #極限值 #無窮級數和 現有長度為12的線段，首先取去它的1/2^2，然後再從剩下部分的線段取去它的1/3^2，又再從剩下部分的線段取去它的1/4^2，...，如此順序從所剩線段取去它的1/n^2，則剩下的線段長最後會趨近於多少？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #複數的運算 #複數平面 若|a|=8，Z^3=a之解集合為{Z_1,Z_2,Z_3}，則A(Z_1),B(2Z_2),C(3Z_3)為頂點之三角形面積為？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #排列組合 若9個人排成一列，其中甲乙兩人之間要站2個人，乙丙之間也要站2個人，請問有幾種不同的排列方式？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #平面向量 #對稱點 有兩射線OX，OY夾角60°，P為∠XOY內部一點，OP=10，今欲在OX上取一點A，OY上取一點B，使∆PAB之周長最小，若∆PAB之周長為t，則t的範圍為？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #排列組合 #機率與統計 若一袋中有2個白球，3個紅球，4個黑球，每一球被取中的機會均等，則一次取出四球，恰為二色的機率為？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #除法定理 #微積分 設x^5除以(x-1)^3得餘式為g(x)，求g(2)之值=？（全國聯招98年教甄）
• 2009: #因數與倍數 一長廊有30盞燈排成一列，依序編號為1，2，3，...，30，開始全部都是關的，今有30人依次通過。第一人通過時，將全部燈打開；第二人通過時，將燈號為2之倍數者關上；第三人通過時，將燈號為3之倍數者改變狀態（開者關上，關者打開）；...；第n人通過時，將燈號為n之倍數者改變狀態。今30人通過後，共有多少盞燈最後是開的？（全國聯招98年教甄）
• 2008: #極限值 #夾擠定理　試求lim(n->inf)((1/(n^2))sum(k=1..n)((k(k+2))^(1/2)))。(中和高中97年教甄)
• 2008: #對數 #柯西不等式 #算幾不等式　已知x>1,y>1，且(logx)^2+(logy)^2=2(logx+logy)，試求x^(logy)的最大值。(中和高中97年教甄)
• 2008: #遞迴關係式　數列<a_n>定義如下:a_1=2、a_2=3、a_(n+2)=a_(n+1)+2a_n（n=1,2,3,...），試求一般項a_n（以n表示）。(中和高中97年教甄)
• 2008: #排列組合 設袋中有大小相同的紅球3個、黑球2個、白球4個，今從袋中一次取一球，取後不放回，直到所有紅球皆取到時就停止，試求：停止前所取球的次數為5次的機率為？(中和高中97年教甄)
• 2008: #圓錐曲線 #橢圓方程　設二元二次方程式Γ:x^2+xy+y^2=6，P(a,b)為Γ上的一點，試求a^2-b^2的最大值。(中和高中97年教甄)
• 2008: #圓錐曲線 #橢圓方程 設Γ為x^2+4y^2+2x+3-k(x^2+2y^2+1)=0，則當Γ是橢圓時，試求k的範圍為？(中和高中97年教甄)
• 2008: 設一直圓錐的內部有一個半徑為3的內切球（切於側面及底面），則當此直圓錐的高為___時，此直圓錐有最小體積為___。(中和高中97年教甄)
• 2008: #排列組合 某一天的8節課裏，包括國文、英文、數學、音樂、生物各一節課，再加上3節自習課，若自習課不完全相鄰且不排在第一節，那麼這一天的課表，將會有幾種可能排法？(中和高中97年教甄)
• 2008: 設∆ABC為正三角形，點P為其內部一點，若PA=5、PB=12、PC=13，則∆ABC之面積為？(中和高中97年教甄)
• 2008: #矩陣運算 #反矩陣 設A^(-1)是矩陣A的反矩陣，B^(-1)是矩陣B的反矩陣，且A^(-1)=[(1,2,-1),(3,4,2),(0,1,-2)]，B^(-1)=[(0,1,1),(1,0,1),(-2,3,2)]，求AB=？(中和高中97年教甄)
• 2008: #高斯符號 #整數論 設[x]為表示小於或等於x的最大整數，令b_n=[n/1]+[n/2]+[n/3]+...+[n/n]，則b_2008-b_2007=？(中和高中97年教甄)
• 2008: #絕對值方程式 解方程式 ((10+x)^2)^(1/3)+((3+x)^2)^(1/3)=((10+x)(-3-x))^(1/3)+7 (中和高中97年教甄)
• 2008: #絕對值不等式 設x∈R且x>=7/3，試解不等式：|x^2-(3x-7)^(1/2)|<|(3x-7)^(1/2)-3|+|x^2-3|得其解為 (中和高中97年教甄)
• 2008: #複數平面 設Z=((3^0.5+i)/2)^7+1，試求Z的主輻角為？(中和高中97年教甄)
• 2008: #正弦定理 等腰∆ABC中，AB=AC，D在BC上、且AD⊥BC；E在AD上、且AE=20、ED=2，若∠BED=3∠BAD，則AB=？(中和高中97年教甄)
• 2008: #因式定理 #因式與倍式 若m、n是整數，且mx^17+nx^16+1是x^2+x-1的倍式，求m之值。(中和高中97年教甄)
• 2008: 尺規作圖-做3相切圓
• 2008: 幾何證明-托勒密定理
• 2008: 幾何證明-圓冪逆性質
• 2007: #聯立方程式 #根式方程 解 √(7x^2+9x+13)+√(7x^2-5x+13)=7x。
• 2007: #聯立方程式 #二元五次聯立方程組 解x^5+y^5=33,x+y=3。
• 2007: #封閉性 #根式方程 # 根與係數 若方程式x^2-(√2021+2)x+n√2021-8=0有整數解，其中n∈Z，求n的值。
• 2007: #畢氏定理 有一個直角三角形的面積為13650，周長為910，求此直角三角形的斜邊長。
• 2007: #根式方程式 解(5-x)^(1/2)=5-x^2。
• 2007: #多項式方程 #四次多項式 解(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=4x^2。
• 2007: #指數方程式 #指數與對數 解4^x+10^x=25^x。
• 2007: #畢氏定理 #圓的性質 如圖，長方形ABCD內接一個半圓，若AM=2、CN=1，試求半圓的半徑長度。
• 2007: #不等式 #不等式的運算 一名醫護人員說：「醫院裡的醫務人員，包括我在內，總共是16名醫生和護士。下面講到的情況，無論是否把我計算在內，都不會有任何變化。」１、護士多於醫生。２、男醫生多於男護士。３、男護士多於女護士。４、至少有一位女醫師。 請問說話的人是什麼性別和職業？
• 2007: #整數的加減運算 5樓阿宅家裡是賣蘋果的，一顆蘋果成本65元，現虧本出清價一顆55元，某天一顧客買了一顆出清的蘋果，給了5樓阿宅1張100元的假鈔，5樓阿宅剛好沒零錢可以找，於是找鄰居換了100元零錢。事後鄰居存錢過程中發現錢是假的，被銀行沒收了，5樓阿宅又賠了鄰居100元。請問5樓阿宅一共虧了多少錢？
• 2007: #多項式函數 #二次函數 #拋物線 #判別式 設拋物線y=ax^2+bx+c與直線7x-y-8=0相切於(2,6)，且與直線x-y+1=0也相切，試求此拋物線。
• 2007: #除法原理 小豪做除法練習題時，將除數46看成64，計算所得的商是11，餘數是□；若正確答案之餘數為26，那麼被除數是多少？
• 2007: #除法定理 #餘式定理 #二項式定理 #泰勒展開式　求x^100+1除以(x-1)^2的餘式。
• 2007: #外角定理 #三角函數 在△ABC中，取BC中點D，連接AD，若∠C=30°，∠CAD=15°，求∠B。
• 2007: #超越方程 #超越函數 解x^x^x^x^...=x，則x=？
• 2000: #柯西不等式　若r,s,t∈R，滿足r^2+s^2+t^2=4且r-s+t=2，求r的範圍?
• 2000: #二項式定理 #微分　求sum(n=1..9)(n*2^n*C^9_n)之值。
• 2000: #整數論 #高斯符號 #高斯方程式 令[x]表不大於x的最大整數，則方程式[x]+[3x]=13的解為?
• 2000: #極限值 #夾擠定理　已知n∈N，求lim(n->inf)((1^n+2^n+3^n)^(1/n))=?
• 2000: #極限值 #微分　已知A,B∈R，m,n∈N，求;im(x->0)(((1+Ax)^(1/m)-(1+Bx)^(1/n))/x)=?
• 2000: #數列 #級數 #遞迴關係式　若數列{a_n}前n項的和恆滿足S_n=p*n*a_n（n>=2），且a_1≠a_2，則p=?
• 2000: #三角函數 #正弦函數 #餘弦函數　設cosα=sinθsinγ且cosβ=cosθsinγ，試證：sin^2(α)+sin^2(β)+sin^2(γ)=2
• 2000: #多項式方程式 #二次方程式 #實係數方程式 #根與係數　方程式x^2+ax+(b+1)=0的兩根恰好與ax^2+3x+(b-1)=0的兩根互為倒數，其中a,b皆為實數，試求(a,b)=？
• 2000: #有理函數 #判別式　設f(x)=(x^2-x+1)/(x^2+x+1)，求f(x)的最小值與最大值。
• 2000: #二次函數 #多項式函數 #拋物線 #根與係數　設a,b為實數，已知座標平面上拋物線y=x^2+a+b與x軸交於P,Q兩點，且於PQ=7；而拋物線y=x^2+ax+(b+2)與x軸的兩交點R,S，則RS=？
• 2000: #多項式函數 #二次函數　已知二次函數的圖形經過(1,4)，(2,6)兩點，且在ｘ軸上截取的線段長為5，求此二次函數。
• 2000: #根式化簡 #乘法公式 當(16^(1/3)-1)^(1/3)=a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)，其中a,b,c∈Q。求a+b+c
• 2000: 邊長=10的正方形，以四頂點為圓心，10為半徑畫弧，算中間(黃色)部分面積。
• 1999: Solve x^x=x^2.